පුරාතන ඊජිප්තු ගණිතය හා රයින්ඩ් පැපිරසය

දර්ශනීය සිද්ධස්ථාන, පිරමීඩ හා ස්මාරක වලින් බහුල වූ “පැරෝවරුන්ගේ භූමිය” නැතහොත් පුරාතන ඊජිප්තුව වනාහී පුරාතන ග්‍රීකයන්ගේ සිටම නානාප්‍රකාර ශිෂ්ඨාචාරයන් තුල විසූ නානාවිධ පුද්ගලයන් විශාල ප්‍ර‍මාණයක් වසගයට ගත් භූමියකි. මමීවරුන් ප්‍ර‍ධාන කොටගත්, කලක් තිස්සේ ආරක්ෂිතව පැවති, කාබනික සාක්ෂි මෙන්ම දහස් ගණනක් පාෂාණමය අභිලේඛනද එකී වසගය අධ්‍යාපනික කුතුහලයක් බවට ත්‍රීව්ර කරවයි.

පුරාතන ඊජිප්තුව පිළිබදව කරන අධ්‍යනය හෙරොඩෝටස් නම් ග්‍රීක ඉතිහාසඥයාගේ කාලයේ සිටම වරින්වර සිදුකර තිබුනද, මහාපරිමාණයෙන් ඊජිප්තු පුරාවිද්‍යාව අධ්‍යනයට භාජනය වන්නේ වර්ෂ 1798 දී ප්‍රංශ ජාතික නැපෝලියන් බොනපාට් විසින් ඊජිප්තුව ආක්‍ර‍මණය කිරීමෙන් අනතුරුවය. නැපෝලියන්ගේ සේනාංකයන් තුල යුධ භටයින්ට අමතරව විද්‍යාඥයින් ඇතුළු කොටගත් නානාවිධ විෂයන් වල ශ්‍රාස්ත්‍ර‍ධරයන් 165ක පමණ පිරිසක් විය. මෙම ශ්‍රාස්ත්‍ර‍ධරයන් අතර සුප්‍ර‍කට ගණිතඥයෙකු වන Joseph Fourier ද විය.

නැපෝලියන්ගේ හමුදාවට ඊජිප්තුව තුල හමුවූ දේ අතර ඉතා වැදගත් වන්නේ රොසෙට්ටා ශිලාලේඛනයයි. දැනට, මෙකී රොසෙට්ටා ශිලාලේඛනය බ්‍රිතාන්‍ය කෞතුකාගාරයේ ප්‍රදර්ශනය කර ඇත.‍රොසෙට්ටා ශිලාලේඛනය වැදගත් වනුයේ එය පුරාතන ඊජිප්තු ලිඛිතය වූ හයිරෝලේඛණ විකේතනය කිරීම පිණිස උපකාරී වූ බැවිනි. රොසෙට්ටා ශිලාලේඛනය තුල හයිරෝලේඛණ වලින්ද, ඩීමටික භාෂාවෙන්ද, ග්‍රීක භාෂාවෙන්ද ලියැවුණු පුරාතන ඊජිප්තු පූජකවරුන්ගේ තීන්දුවක් ඇත. මෙකී ශිලාලේඛනයේ පිටපත් අධ්‍යනය කරමින් හයිරෝලේඛණයන් විකේතනය පිණිස පුරෝගාමී වූවෙක් වන්නේ ඉංග්‍රීසි ජාතික භෞතික විද්‍යාඥයෙකු වූ තෝමස් යන්ග් නම් තැනැත්තාය. රොසෙට්ටා පාෂාණය පිළිබද තෝමස් යන්ග්ගේ පර්යේෂණ පසුව ප්‍රංශ ජාතික භාෂා විශාරදයෙකු මෙන්ම ඊජිප්තු-විද්‍යාඥයෙකු ද වන Jean Francois Champollion විසින් ඉදිරියට ගෙන යන ලදී.

රොසෙට්ටා පාෂාණයට අමතරව, බ්‍රිතාන්‍ය කෞතුකාගාරයේ ඊජිප්තු අංශයේ ඇති තවත් වැදගත් පුරාවස්තුවක් වනුයේ රයින්ඩ් පැපිරසයයි. අඩි 18ක් දිගින්ද අගල් 13ක් පළලින්ද යුක්ත වන රයින්ඩ් පැපිරසය පුරාතන ඊජිප්තු ගණිතය පිළිබදව අපට දැනුම සපයන වැදගත් ලියවිල්ලකි. මෙම පැපිරසය වර්ෂ 1858 දී ස්කොට්ලන්ත ජාතික නීතිඥයෙකු මෙන්ම පුරාවිද්‍යාඥයෙකුද වන ඇලැක්සැන්ඩර් හෙන්රි රයින්ඩ් විසින් වර්තමානයේ Luxor නමින් හැදින්වෙන ප්‍ර‍දේශයෙන් ලබාගත් එකකි. 1863 දී හෙන්රි රයින්ඩ්ගේ මරණයෙන් පසු මෙකී පැපිරසය බ්‍රිතාන්‍ය කෞතුකාගාරය සතු විය.

රතු හා කලු දෙවර්ණයෙන්, දකුණේ සිට වමට, හීරටික අක්ෂරයෙන් ලියැවුණු රයින්ඩ් පැපිරසය තුල ප්‍ර‍ධාන වශයෙන්ම ගණිත ගැටලු 84ක් (හා ඒවාට අදාල රූප සටහන්) අන්තර්ගතය. මෙකී පැපිරසය ප්‍ර‍ථමයෙන්ම නූතන භාෂාවකට පරිවර්තනය කරනු ලැබුවේ ජර්මානු ජාතික ශ්‍රාස්ත්‍ර‍ධරයෙකු වන August Eisenlohr ය. පැපිරසයේ ඉංග්‍රීසි පරිවර්තනයක් 1923 දී තෝමස් එරික් පීට් විසින් ප්‍ර‍කාශයට පත්කරනු ලැබුවද, පැපිරසය සාමාන්‍ය මහජනතාව අතරට ගියේ 1929 දී ඇමරිකානු ජාතික ආර්නෝල්ඩ් බුෆම් චේස් විසින් කළ පර්වර්තනයෙන් පසුවය.

ඇත්තෙන්ම, රයින්ඩ් පැපිරසය වනාහී අව්‍යාජ පැපිරසයක් නොව වඩාත් පැරණි ලියවිල්ලක පිටපතකි. ඒ බව එම පැපිරසය පිටපත් කරනු ලැබූ අහ්මෝස් නම් රචකයා විසින් සිය පෙරවදන තුල සදහන් කර තිබේ. එමෙන්ම, අහ්මෝස්ගේ පෙරවදනට අනුව, රයින්ඩ් පැපිරසයට පාදක වන මුල් ලියවිල්ල ලියා ඇත්තේ තුන්වන අමිනෙම්හැට් පැරෝවරයාගේ කාලයේ වන අතර අහ්මෝස් විසින් එය පිටපත් කර ඇත්තේ ක්‍රිස්තු පූර්ව 1650 දී පමණය.

රයින්ඩ් පැපිරසය ආරම්භ වනුයේ කතුවරයා විසින් පාඨකයාට “සියලු රහස් පිළිබද දැනුම” හා “සියලු දේ ගැන පරිපූර්ණ අවබෝධයක්” ලබාදෙන බවට වන පොරොන්දුවකිනි. මෙකී පොරොන්දුව ඒ ආකාරයෙන්ම ඉටු කර නොතිබුනත්, පැපිරසය වනාහී පුරාතන ඊජිප්තු ගණිතය පිළිබදව වන තොරතුරු උල්පතකි. කෙසේවෙතත්, ග්‍රීක ආභාෂය ලත් වර්තමාන ගණිතයේ ව්‍යුහයට හා කාඨින්‍යයට හුරුවූ අයට රයින්ඩ් පැපිරසයේ ඇති ගණිතය “නොදියුණු” සේ පෙනෙන්නට පුලුවන. පැපිරසය තුල සාධාරණ, පොදු නියමයන් නොමැති අතර ස්වසිද්ධි මගින් න්‍යායන් ව්‍යුත්පන්න කිරීමක්ද දක්නට නොලැබේ. පැපිරසය බහුල වනුයේ කතන්දර ආකාරයට ඇති ගණිත ගැටලු වලිනි. ඒ සියල්ලම පාහේ ධන්‍යාගාරයක පරිමාව සෙවීම යනාදී ප්‍රයෝගික හා එදිනෙදා ජීවිතයේ නිතර ඉස්මතු වන ගැටලුය. මීට අමතරව, විනෝදාත්මක ගණිත ගැටලුද පැපිරසයේ අන්තර්ගතය.

රයින්ඩ් පැපිරසයේ ආරම්භය වගු දෙකකින් යුක්තය. මින් එක් වගුවක දෙක නම් සංඛ්‍යාව තුනේ සිට 101 දක්වා වන ඔත්තේ සංඛ්‍යා වලින් බෙදූ විට ලැබෙන පිළිතුරු, ලවය එක වන්නා වූ භාග වල ඓක්‍යයක් ලෙස සදහන් කර ඇත. උදාහරණයක් ලෙස, 2/5 යන්න 1/3 හා 1/15 යන භාග වල එකතුව ලෙස වගුව තුල සදහන් කර ඇත. කුමන හෝ හේතුවක් නිසා, පුරාතන ඊජිප්තු වැසියන් භාග සංඛ්‍යා ප්‍රකාශ කලේ ලවය එක වන්නා වූ භාග වල එකතුවක් ලෙසය. එකම, විශේෂත්වය නම් 2/3 යන භාග සංඛ්‍යාව පමණකි. පුරාතන ඊජිප්තු ගණිතඥයින් විසින් සිය කාලය හා ශ්‍ර‍මයෙන් සැළකිය යුතු කොටසක් යම් භාගයක් ලවය එක වන භාග කිහිපයක එකතුවක් ලෙස ලිවීමට වැය කළහ. එමෙන්ම, ඔවුන් යම් පූර්ණ සංඛ්‍යාවක පරස්පරය ලියා දැක්වීම පිණිස එකී සංඛ්‍යාවේ සංකේතය උඩින් තිතක් තැබීම සිදුකලේය. තවද, “එකතු කිරීම” සදහා විශේෂ සංකේතයක් ඔවුනට නොවීය. ඉහතකී ලවය එක වන භාගයන් එක පේලියට ලිවීම ඔවුන් සිදුකළ අතර ඒවා එකතු කළ යුතු බව ඔවුන් ඇගවීය. එමෙන්ම, දෙවැනි වගුව තුල එකේ සිට නවය දක්වා පූර්ණ සංඛ්‍යා දහයෙන් බෙදූ විට ලැබෙන පිළිතුරු අන්තර්ගත විය. ඒවාද, ප්‍ර‍කාශ කර තිබුනේ ලවය එක වන්නා වූ භාග සංඛ්‍යා කිහිපයක එකතුවක් ලෙසය.

මෙම වගු දෙකින් පසුව, අංක ගණිතය හා මාන ශාස්ත්‍ර‍ය යන ගණිත අංශ යටතට ගැනෙන ගැටලු වලින් පැපිරසය සමන්විත වේ. පැපිරසයේ මුල් ගැටලු කිහිපය අංක ගණිතමය ඒවාය. ඒවා මූලික වශයෙන්ම අඩු කිරීම හා ගුණ කිරීම යන ගණිත කර්ම භාවිතයෙන් යම්කිසි අඥාණයක් සොයාගැනීම පිළිබදව වේ. මෙම ගැටලු, “අහ් ගැටලු” (aha problems) යනුවෙන් හදුන්වනු ලැබේ. එයට හේතුව, මෙකී ගැටලු “අහ්” යනුවෙන් උච්චාරණය කරන වදනින් ආරම්භ වන ඒවා වීමය. එම වදන බොහෝදුරට ප්‍ර‍මාණය (සෙවිය යුතු) යන අරුතින් ව්‍යවහාර වන්නට ඇත. උදාහරණයක් ලෙස, රයින්ඩ් පැපිරසයේ තිස්වන ගැටලුව ගතහොත්, එය – තත්කාලීන ගණිත අංකනයෙන් – මෙසේ ලියා දැක්විය හැකිය:

(2/3+1/10)x=10

මෙය මූලික වශයෙන්ම රේඛීය සමීකරණයකි. එසේවුවද, රේඛීය සමීකරණ විසදීමෙහිලා අවැසි වන වීජ අංකනය හා වීජ ක්‍ර‍මවේද පුරාතන ඊජිප්තු වැසියන් හට නොතිබුණි. එබැවින්, ඔවුන් මෙම ගැටලුව අංක ගණිත ගැටලුවක් සේ සළකණු ලැබීය.

ඉහත ගැටලුව විසදමේදී ඔවුන් මුලින්ම කලේ අඥාණය සදහා පහසු අගයක් උපකල්පනය කිරීමය. උදාහරණයක් ලෙස, අඥාණය 30 ලෙස ගතහොත් සමීකරණයේ වම් පස 23 වේ. නමුත්, අපට අවශ්‍ය සමීකරණයේ වම් පස 10 කිරීමටය. දහය, 23 මෙන් 10/23 ගුණයකි. එබැවින්, සැබෑ පිළිතුර උපකල්පිත පිළිතුර මෙන් 10/23 ගුණයක් විය යතුය. එනම්, සැබෑ පිළිතුර වනාහී 30*(10/23) යි. එනම්, අනවශේෂ 13කුත් අවශේෂ 1/23කුත්ය (13+1/23). පුරාතන ඊජිප්තුවාසීන්ගේ මෙම ක්‍ර‍මවේදය වර්තමානයේ rule of false position යනුවෙන් හැදින්වේ. මින් පැහැදිලි වන්නේ, එතරම් පහසු හා එතරම් කාර්යක්ෂම නොවුනද, රේඛීය සමීකරණ විසදීමට ක්‍ර‍මයන් එකල ඊජිප්තුවාසීන් දැනසිටි බවය.


ලිව්වේ – අසීයා මිතුරුසිංහ

Advertisements
This entry was posted in ගණිතය, Sinhala and tagged , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , . Bookmark the permalink.

2 Responses to පුරාතන ඊජිප්තු ගණිතය හා රයින්ඩ් පැපිරසය

  1. Pra Jay says:

    A good post .

    Like

පාඨක ප්‍රතිචාර...

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s